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祖沖之與圓周率

圓周率在生產實踐中應用非常廣泛，在科學不很發達的古代，計算圓周率是一件相當復雜和困難的工作。因此，圓周率的理論和計算在一定程度上反映了一個國家的數學水平。5世紀，我國南北朝時期杰出數學家祖沖之，應用劉徽創立的割圓木，把圓周率推算到更加精確的程度，取得了極其光輝的成就。

據《隋書·律歷志》記載，祖沖之確定了圓周率的不足近似值是3.1415926，過剩近似值是3.1415927，真值在這兩個近似值之間。通過現代計算驗證，如果按照割圓術計算，要得到3.1415926到3.1415927，必須求出圓內接12288邊形的邊長和24576邊形的面積。這樣求出的圓周率才能準確到小數點后7位。我國古代是用算籌計算的，因此，對9位數做上百次加、減、乘、除和開方運算，還要適當選擇有效數字，保證準確的誤差范圍，這是一項非常艱巨復雜的計算工作，顯然只有掌握純熟的理論和技巧，具備踏踏實實、一絲不茍的研究精神，才能取得這樣杰出的成就。祖沖之圓周率的不足近似值和過剩近似值，準確到小數點后7位，成為世界歷史上第一次把圓周率的準確數值算到小數點后7位數字的人。用這兩個近似值計算，可以滿足一定精度的要求，并且非常簡便，這在當時世界上非常先進，標志著我國古代高度發達的數學水平，在世界數學史上放射著異彩。直到1000年以后，1427年阿拉伯數學家阿爾·卡西在《算術之鑰》、法國數學家維葉特于1540年至1603年才求出更精確的數值。

按照當時計算都用分數的習慣，祖沖之還采用了兩個分數值的圓周率。一個是355/113，這一個數比較精密，所以祖沖之稱它為“密率”。另一個是22/7，這一個數比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”。其中密率是分子分母在1000以內的最佳值。在歐洲，直到1573年德國數學家鄂圖和荷蘭人安托尼茲才得出同樣結果。因此，日本數學家三上義夫曾建議把355/113這個圓周率數值稱為“祖率”，來紀念這位中國的大數學家。

祖沖之的這一研究成果享有世界聲譽：巴黎“發現宮”科學博物館的墻壁上著文介紹了祖沖之求得的圓周率，莫斯科大學禮堂的走廊上鑲嵌有祖沖之的大理石塑像，月球上有以祖沖之命名的環形山……

增乘開方法的創立

我國是世界數學史上最早提出開平方、開立方的法則的國家。早在中國古代數學著作《九章算術》中的《少廣》章里就講述了開平方與開立方的法則，這個法則對解方程起了重要作用。因此，在世界數學史上占有重要的地位。

公元5世紀，南北朝時期祖沖之進一步推廣了開平方、開立方的方法，能求出一般的二次方程式和三次方程式的正根。到隋唐時代，在數學著作中，則有開差冪（由長寬不等的長方形面積求其長寬）、開差立（由長寬高不等的立方體的體積求其長寬高）的問題。1050年左右，北宋數學家賈憲在他編著的《九章算法細算》中創造了開任意高次冪的“增乘開方法”。其做法與現代教科書中所用的步驟相同，用所擬定的根數，邊乘邊加，變換原方程式的系數。增乘開方法對以后求高次方程式正根，有很大影響。如1247年秦九韶的《數書九章》、1248年李冶的《測圓海鏡》等著作中都用了增乘開方法。

在歐洲許多數學家用了種種方法求三項與高次方程式的實根，都比較復雜和不切實際。直到1840年意大利人羅斐尼和1819年英國人霍納等才找到了與中國增乘開方法大致相同的算法，但是他們都比賈憲晚了800多年，而比祖沖之則晚了1300多年。

聯立方程式的提出

我國是世界上最早提出聯立方程式的國家。聯立方程式在初等代數中是比較重要的一種數學方法。它可表示多種事物之間的復雜關系，在生產、科研工作中，特別是在建筑、設計和電路分析中有廣泛的應用。

在方程式中，如果含有一個以上的未知數時，必須有一個以上的方程式，有幾個未知數就要有幾個方程式，只有這樣，
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